抱っこの仕方で犬に負担をかけている??

これは関節や腰を痛めたりする危険性があるので絶対にやめて下さい。犬は本来四足歩行なので身体を縦にしたり仰向けにしたりすると内蔵にも負担がかかります。 特にダックスフンドのような胴長な犬種は腰を痛めてヘルニアの原因にもなります。

赤ちゃんのように仰向けで抱っこしたり、お尻を支えながら飼い主の肩に手を置く形での抱っこは避けた方がいいでしょう。

ワガママを聞かずに主従関係を大切に。

周りの状況、必要に応じて抱っこをしないといけない時は仕方ないですが、せがまれて何度も抱っこするのは避けた方がいいでしょう。
主導権はご主人様の方にあることを示し、抱っこをさせられるのはいけません。
主従を示すために、抱っこする位置も意識してあげることが重要。抱っこの方法として、一番は地上にいるときと同じ体勢であること。正面だとどうしても赤ちゃん抱きになってしまうので、横に立ち、人間の利き腕を犬のお尻の方から犬の前足の中間に持ってくると同時に人間の胸につけて安定させますが、犬の方が偉くならないように胸より高い位置ではなく、お腹辺りがベストです。
お腹側には片方の前足後ろ足を安定させてるので左腕で外側の前足の後ろ足を包み込むように抱き締めてください。犬の腰の位置を安定させるのが病気を防ぐもとです。また利き手で犬の胴の外側から腕を回し、前後の脚の間から胸を支え、もう片方の手でお尻と後ろ足を支える方法もあります。
移動が必要な時は抱っこ以外にも色々あります。

いずれにせよ、犬嫌いの方や犬同士のトラブルを避けないといけないような環境では正しい抱っこをするか、便利なキャリーバッグなどを利用して上手に愛犬と毎日を楽しく過ごしましょう。